Question d'origine :
comment calculer pi precisement :si je mesure le perimetre d un cercle (avec un metre ruban?!) ,que je divise par le diametre je n obtiendrai q une valeur approchee de pi qui sera fausse apres quelques chiffres apres la vigule
comment procedent certains mathematiciens qui font ce calcul, plusieurs milliers de chiffres (je crois) apres la virgule? merci
Réponse du Guichet
gds_db
- Département : Equipe du Guichet du Savoir
Le 12/09/2005 à 08h15
3,1415926535 8979323846 2643383279 5028841971 6939937510 5820974944 5923078164 0628620899 8628034825 3421170679.
Pour l'utilisation courante, 3,14 ou 22/7 sont souvent suffisants, bien que les ingénieurs utilisent plus souvent 3,1416 (5 chiffres significatifs) ou 3,14159 (6 chiffres significatifs) pour plus de précision dans leurs calculs préliminaires (dans les calculs finaux, cependant, ils doivent utiliser la précision maximale de l'ordinateur, soit de 8 à 19 chiffres significatifs). 355/113 est une fraction facilement mémorisable qui donne 7 chiffres significatifs.
La formule utilisée par John Machin, dont des formules similaires sont encore utilisées aujourd'hui, permet un calcul rapide :
Il l'obtint avec un développement en série de Taylor de la fonction arctan(x). Cette formule peut être vérifiée aisément en coordonnées polaires dans le plan complexe, avec
Les formules de ce genre sont nommées formules de Machin.
Les approximations très précises de π sont généralement calculées avec l'algorithme de Gauss-Legendre et l'algorithme de Borwein; l'algorithme de Salamin-Brent, inventé en 1976 a aussi été utilisé pour de très grands nombres de décimales.
On peut voir 1 000 000 de décimales de π et de 1/π sur le Projet Gutenberg (voir liens externes).
Le record actuel (décembre 2002) est de 1 241 100 000 000 de décimales, calculées en septembre 2002 sur un supercalculateur parallèle Hitachi à 64 nœuds, avec 1 Téraoctet de mémoire centrale, qui pouvait effectuer 2 000 milliards d'opérations en virgule flottante par seconde, soit près de deux fois plus que pour le précédent record (206 milliards de décimales); les formules de Machin suivantes ont été utilisées pour cela:
(K. Takano, 1982)
(F. C. W. Störmer, 1896)
Ces approximations sont tellement grandes qu'elles n'ont aucune utilisation pratique, si ce n'est tester les nouveaux supercalculateurs.
En 1995 David Bailey, en collaboration avec Peter Borwein et Simon Plouffe, ont découvert une nouvelle formule de π, une série (souvent appelée formule BBP):
Cette formule permet de calculer facilement la ne décimale binaire ou hexadécimale de π, sans avoir à calculer les décimales précédentes. Le site de Bailey en contient la dérivation et l'implémentation dans de nombreux langages de programmation. Grâce à une formule dérivée de la formule BBP, le 4 000 000 000 000 000 chiffre de π en base 2 a été obtenu en 2001.
Un an plus tard, Simon Plouffe met au point un algorithme permettant le calcul de la ne décimale de π, mais cette fois ci en décimal. Il est décrit dans un court article disponible depuis la page de Simon Plouffe (http://www.lacim.uqam.ca/~plouffe/Simon/articlepi.html).
...
source : Wikipedia : PI
Pour en savoir plus :
- Périodicité du nombre pi
- Le nombre PI, décimales et algorithmes ENST André Brouty
- trucsmaths.free.fr : Le nombre pi
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