Deux gouttes de pluie

Réponse du service Guichet du Savoir

Bonjour,

Cela dépend bien sûr de l'averse et aussi de la précision exigée par "au même endroit exactement". De plus la question peut être interprétée de plusieurs façons :

1) Étant donné deux gouttes G et H, quelle est la probabilité que G et H tombent au même endroit.
2) Étant donné une goutte G, quelle est la probabilité qu'au moins une autre goutte tombe au même endroit.
3) Quelle est la probabilité qu'il existe deux gouttes (parmi toutes celles qui sont tombées) qui soient tombées au même endroit,

La hauteur de pluie H se mesure à l'aide d'un pluviomètre, en litre par mètre carré.
(par exemple 5l/m^2 pour une averse moyenne).
L'averse arrose une surface au sol A en kilomètres carrés.
Les gouttes ont un volume moyen V (qui dépend de l'averse).
(Pour une goutte normale de 2mm de diamètre, V=4*10^-9 m^3)

Le nombre totale de gouttes qui sont tombées est donc N=(1000*A*H)/V.

Avec A=5km^2, H=5l/m^2, V=4*10^-9 m^3 on trouve N=6*10^12 gouttes.
(6 mille milliards de gouttes).

Il reste à interpréter "au même endroit exactement". Nous dirons que deux gouttes sont tombées "au même endroit" à la précision e (en mètre) si les centres des gouttes sont tombés à une distance inférieure à e.
Pour e on peut prendre 1 millimètre (le rayon d'une goutte d'eau) ou 100 picomètres (le rayon d'une molécule d'eau).
En découpant la surface A en carrés de coté e, nous trouvons tout les endroits (à l'échelle
e) où peuvent tomber les gouttes d'eau. Il y en a (à peu près) E=A/e^2.

Chaque goutte a donc une probabilité P1= 1/E=e^2/A de tomber à un endroit précis, par exemple sur la goutte G.
Avec A = 5km et e=1mm, cela donne P1=2*10^-13 = 0.00000000002 %

Par contre la probabilité qu'au moins une goutte tombe sur G est P2= 1-(1-P1)^(N-1).

Avec les données précédentes, on trouve P2 = 70%

La probabilité P3 que deux gouttes quelconques tombent au même endroit est de presque 100%.

Si on prend pour e=100 picomètres, on trouve des probabilités
P1=2*10^-27
P2=1.2*10^-14=0.0000000000012 %
P3 est environ 1-exp(-N^2/(2*E)) = 3.5 %
C'est le fameux Paradoxe des anniversaires.

Nous tenons à remercier le chercheur de l'Université de Bordeaux qui a bien voulu répondre à votre question et vous laissons méditer sur ces équations !!