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Calculer l'hypothénuse

par MJCMMD, le 12/09/2019 à 15:19 - 111 visites

Bonjour,
Mon compagnon et moi débattons aujourd'hui sur le théorème de Pythagore, qui énonce que le carré de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés, donc : c² = a² + b²
Or, pour trouver l'hypoténuse (et non pas son carré), je n'arrive pas à comprendre pourquoi faire tout simplement : c = a + b ne fonctionnerait pas.
Mon compagnon n'arrive pas à me convaincre, j'espère que vous trouverez les éléments qui me permettront de comprendre où est mon erreur... ou la sienne :p
Merci d'avance de votre réponse.
Cordialement.
Marie-Jeanne.

Réponse du Guichet du savoir

par bml_sci, le 13/09/2019 à 18:31

Réponse du département Sciences et Techniques

Bonjour,

Le théorème de Pythagore énonce effectivement que dans un triangle rectangle le carré de la longueur de l'hypoténuse (notée c) est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés (notées a et b), c'est-à-dire c² = a² + b².

Une visualisation géométrique possible de ce théorème permet de mieux comprendre l'importance des carrés dans la formule :
Image
(source : Wikipédia)

C'est bien l'aire du grand carré bleu (qui vaut c²) qui est égale à la somme des aires des carrés jaunes (qui valent respectivement a² et b²). En revanche on voit bien que la longueur c est bien plus petite que la somme des longueurs a et b !

Dans un triangle (quelconque, pas même nécessairement rectangle), si on note c la longueur du plus long côté et a et b celles des deux autres côtés, on a toujours c <= a + b (essayez de vous en convaincre sur des dessins !). Le cas c = a + b correspond d'ailleurs à un triangle plat. C'est l'inégalité triangulaire

Prenons par exemple un triangle rectangle de côtés de longueurs 3, 4 et 5. On a bien 3² + 4² = 9 + 16 = 25 = 5². Mais on n'a bien sûr pas 3 + 4 = 7 égal à 5.

Il est possible que vous pensiez pouvoir passer de c² = a² + b² à c = a + b en "simplifiant les carrés", ce qui est incorrect. Attention, la formule est bien c² = a² + b² et non c² = (a + b)². Et (a + b)² = a² + 2ab + b² n'est pas (en général) égal à a² + b². Si on reprend l'exemple ci-dessus, 3² + 4² = 9 + 16 = 25, mais (3 + 4)² = 7² = 49 (il manque 2 * 3 * 4). Mathématiquement, c² = a² + b² et c = a + b ne traduisent pas la même chose.

Remarquons enfin que la réciproque du théorème est vraie. Si on considère un triangle de côtés de longueurs a, b et c et que la relation c² = a² + b² alors ce triangle est rectangle et l'hypoténuse est le côté de longueur c.

Pour aller plus loin...
Des manuels scolaires du collège :
• L'inégalité triangulaire est au programme de la classe de 5e : Pour comprendre les maths 5e / Philippe Rousseau, Nicolas Clamart / Hachette Education, 2019
• Le théorème de Pythagore est abordé en 4e :
Pour comprendre les maths 4e / Philippe Rousseau, Nicolas Clamart / Hachette Education, 2019
• Sur les triangles : Le triangle : trois points, c'est tout ! / sous la dir. de Gilles Cohen / Pole, 2005
• Des ouvrages pour réviser les maths et la géométrie autrement...
Les maths au carré : 100 concepts de base / Marianne Freiberger et Rachel Thomas / Eyrolles, 2017
Tout ce que vous avez appris et oublié en maths ! plus de 1000 exercices et un peu de théorie... pour vous remettre à niveau / Jan van de Craats et Rob Bosch / Pearson, 2012
Petit précis de géométrie à déguster / Mike Askew et Sheila Ebbutt / Belin, 2011

Bonne journée.
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