Question d'origine :
Bonjour,
Merci encore pour vos précédentes réponses, c'est toujours un plaisir de vous lire.
J'ai toujours été curieux de savoir pourquoi "moins par moins" fait "plus" en mathématiques. Il existe plusieurs démonstrations, mais toutes sont trop compliquées pour ma petite caboche.. Je me suis alors dis que le Guichet du Savoir arriverait peut être à nous l'expliquer simplement ?
Merci à vous !
Réponse du Guichet
gds_se
- Département : Équipe du Guichet du Savoir
Le 10/10/2014 à 11h02
Bonjour,
Hélas, le Guichet du Savoir ne compte pas d’ingénieux mathématicien dans ses rangs ! Sachez également que d’autres se sont posé des questions sur ce théorème : Stendhal en est un bon exemple :
Suivant moi l'hypocrisie était impossible en mathématiques et, dans ma simplicité juvénile, je pensais qu'il en était ainsi dans toutes les sciences où j'avais ouï dire qu'elles s'appliquaient. Que devins-je quand je m'aperçus que personne ne pouvait m'expliquer comment il se faisait que: moins par moins donne plus (- X - = +)?
(C'est une des bases fondamentales de la science qu'on appelle algèbre). On faisait bien pis que ne pas m’expliquer cette difficulté (qui sans doute est explicable car elle conduit à la vérité), on me l’expliquait par des raisons évidemment peu claires pour ceux qui me les présentaient.
M. Chabert pressé par moi s'embarrassait, répétait sa leçon, celle précisément contre laquelle je faisais des objections, et finissait par avoir l'air de me dire:
« Mais c'est l'usage, tout le monde admet cette explication. Euler et Lagrange, qui apparemment valaient autant que vous, l'ont bien admise...".
Je me rappelle distinctement que, quand je parlais de ma difficulté de moins par moins à un fort, il me riait au nez; tous étaient plus ou moins comme Paul-Émile Teysseyre et apprenait par cœur. Je leur voyais dire souvent au tableau à la fin des démonstrations : « Il est donc évident ", etc.
Rien n'est moins évident pour vous, pensais-je. Mais il s'agissait de choses évidentes pour moi, et desquelles malgré la meilleure volonté il était impossible de douter.
Les mathématiques ne considéraient qu'un petit coin des objets (leur quantité), mais sur ce point elles ont l'agrément de ne dire que des choses sûres, que la vérité, et presque toute la vérité.
Je me figurais à quatorze ans, en 1797, que les hautes mathématiques, celles que je n'ai jamais sues, comprenaient tous ou a peu près tous les côtés des objets, qu'ainsi, en avançant, je parviendrais à savoir des choses sûres, indubitables, et que je pourrais me prouver à volonté, sur toutes choses.
Je fus longtemps à me convaincre que mon objection sur - X - = + ne pourrait pas absolument entrer dans la tête de M. Chabert, que M. Dupuy n'y répondrait jamais que par un sourire de hauteur, et que les forts auxquels je faisais des questions se moqueraient toujours de moi.
J'en fus réduit à ce que je me dis encore aujourd'hui: il faut bien que - par - donne + soit vrai, puisque évidemment, en employant à chaque instant cette règle dans le calcul, on arrive à des résultats vrais et indubitables.
(Source : La boutique pour l’étude des mathématique de l’IREM d’Aix-Marseille)
Ce blog consacré aux mathématiques vous explique la règle du « moins par moins égal plus » avec plusieurs analogies :
• Analogie avec les amis : en considérant que les amis représentent les « plus » et les ennemis les « moins », la formule « les ennemis de mes ennemis sont mes amis » donne moins par moins égal plus.
• Analogie avec les directions : si l'on assimile le négatif au demi-tour, deux négatifs font deux demi-tours, soit un tour complet.
• Analogie financière …
Jean Le Rond d’Alembert proposait déjà une explication de cette règle dans l’article Négatif de l’Encyclopédie ou Dictionnaire raisonné des sciences, des arts et des métiers :
NÉGATIF, adj. (Algeb.) quantités négatives, en Algebre, sont celles qui sont affectées du signe −, & qui sont regardées par plusieurs mathématiciens, comme plus petites que zéro. Cette dernière idée n’est cependant pas juste, comme on le verra dans un moment. […]
Pour tâcher d’en découvrir la vraie notion, on doit d’abord remarquer que les quantités qu’on appelle négatives, & qu’on regarde faussement comme au-dessous du zéro, sont très souvent représentées par des quantités réelles, comme dans la Géométrie, où les lignes négatives ne différent des positives que par leur situation à l’égard de quelque ligne au point commun. Voyez COURBE. De-là il est assez naturel de conclure que les quantités négatives que l’on rencontre dans le calcul, sont en effet des quantités réelles ; mais des quantités réelles auxquelles il faut attacher une idée autre que celle qu’on avait supposée. Imaginons, par exemple, qu’on cherche la valeur d’un nombre x, qui ajouté à 100 fasse 50, on aura par les règles de l’Algèbre, , & ; ce qui fait voir que la quantité x est égale à 50, & qu’au lieu d’être ajoutée à 100, elle doit en être retranchée ; de sorte qu’on aurait dû énoncer le problème ainsi : trouver une quantité x qui étant retranchée de 100, il reste 50 ; en énonçant le problème ainsi, on aurait , & ; & la forme négative de x ne subsisterait plus. Ainsi les quantités négatives indiquent réellement dans le calcul des quantités positives, mais qu’on a supposées dans une fausse position. Le signe − que l’on trouve avant une quantité sert à redresser & à corriger une erreur que l’on a faite dans l’hypothèse, comme l’exemple ci-dessus le fait voir très-clairement. Voyez EQUATION. […]
Il n’y a donc point réellement & absolument de quantité négative isolée : −3 pris abstraitement ne présente à l’esprit aucune idée ; mais si je dis qu’un homme a donné à un autre −3 écus, cela veut dire en langage intelligible, qu’il lui a ôté 3 écus.
Voilà pourquoi le produit de −a par −b, donne + ab : car a & b étant précédés du signe − par la supposition, c’est une marque que ces quantités a, b, se trouvent mêlées & combinées avec d’autres à qui on les compare, puisque si elles étaient considérées comme seules & isolées, les signes - dont elles sont précédées, ne présenteraient rien de net à l’esprit. Donc ces quantités −a & −b ne se trouvent précédées du signe −, que parce qu’il y a quelque erreur tacite dans l’hypothèse du problème ou de l’opération : si le problème était bien énoncé, ces quantités −a, −b, devraient se trouver chacune avec le signe +, & alors leur produit serait + ab ; car que signifie la multiplication de −a par −b, c’est qu’on retranche b de fois la quantité négative −a : or par l’idée que nous avons donnée ci-dessus des quantités négatives, ajouter ou poser une quantité négative, c’est en retrancher une positive ; donc par la même raison en retrancher une négative, c’est en ajouter une positive ; & l’énonciation simple & naturelle du problème doit être, non de multiplier −a par −b, mais +a par +b ; ce qui donne le produit +ab. Il n’est pas possible dans un ouvrage de la nature de celui-ci, de développer davantage cette idée, mais elle est si simple, que je doute qu’on puisse lui en substituer une plus nette & plus exacte ; & je crois pouvoir assurer que si on l’applique à tous les problèmes que l’on peut résoudre, & qui renferment des quantités négatives, on ne la trouvera jamais en défaut. Quoi qu’il en soit, les règles des opérations algébriques sur les quantités négatives, sont admises par tout le monde, & reçues généralement comme exactes, quelque idée qu’on attache d’ailleurs à ces quantités sur les ordonnées négatives d’une courbe, & leur situation par rapport aux ordonnées positives.
Vous pouvez également consulter ce post sur le forum de questions de Yahoo pour trouver une démonstration simple de cette règle des signes.
Bonne journée
Hélas, le Guichet du Savoir ne compte pas d’ingénieux mathématicien dans ses rangs ! Sachez également que d’autres se sont posé des questions sur ce théorème : Stendhal en est un bon exemple :
Suivant moi l'hypocrisie était impossible en mathématiques et, dans ma simplicité juvénile, je pensais qu'il en était ainsi dans toutes les sciences où j'avais ouï dire qu'elles s'appliquaient. Que devins-je quand je m'aperçus que personne ne pouvait m'expliquer comment il se faisait que: moins par moins donne plus (- X - = +)?
(C'est une des bases fondamentales de la science qu'on appelle algèbre). On faisait bien pis que ne pas m’expliquer cette difficulté (qui sans doute est explicable car elle conduit à la vérité), on me l’expliquait par des raisons évidemment peu claires pour ceux qui me les présentaient.
M. Chabert pressé par moi s'embarrassait, répétait sa leçon, celle précisément contre laquelle je faisais des objections, et finissait par avoir l'air de me dire:
« Mais c'est l'usage, tout le monde admet cette explication. Euler et Lagrange, qui apparemment valaient autant que vous, l'ont bien admise...".
Je me rappelle distinctement que, quand je parlais de ma difficulté de moins par moins à un fort, il me riait au nez; tous étaient plus ou moins comme Paul-Émile Teysseyre et apprenait par cœur. Je leur voyais dire souvent au tableau à la fin des démonstrations : « Il est donc évident ", etc.
Rien n'est moins évident pour vous, pensais-je. Mais il s'agissait de choses évidentes pour moi, et desquelles malgré la meilleure volonté il était impossible de douter.
Les mathématiques ne considéraient qu'un petit coin des objets (leur quantité), mais sur ce point elles ont l'agrément de ne dire que des choses sûres, que la vérité, et presque toute la vérité.
Je me figurais à quatorze ans, en 1797, que les hautes mathématiques, celles que je n'ai jamais sues, comprenaient tous ou a peu près tous les côtés des objets, qu'ainsi, en avançant, je parviendrais à savoir des choses sûres, indubitables, et que je pourrais me prouver à volonté, sur toutes choses.
Je fus longtemps à me convaincre que mon objection sur - X - = + ne pourrait pas absolument entrer dans la tête de M. Chabert, que M. Dupuy n'y répondrait jamais que par un sourire de hauteur, et que les forts auxquels je faisais des questions se moqueraient toujours de moi.
J'en fus réduit à ce que je me dis encore aujourd'hui: il faut bien que - par - donne + soit vrai, puisque évidemment, en employant à chaque instant cette règle dans le calcul, on arrive à des résultats vrais et indubitables.
(Source : La boutique pour l’étude des mathématique de l’IREM d’Aix-Marseille)
Ce blog consacré aux mathématiques vous explique la règle du « moins par moins égal plus » avec plusieurs analogies :
• Analogie avec les amis : en considérant que les amis représentent les « plus » et les ennemis les « moins », la formule « les ennemis de mes ennemis sont mes amis » donne moins par moins égal plus.
• Analogie avec les directions : si l'on assimile le négatif au demi-tour, deux négatifs font deux demi-tours, soit un tour complet.
• Analogie financière …
Jean Le Rond d’Alembert proposait déjà une explication de cette règle dans l’article Négatif de l’Encyclopédie ou Dictionnaire raisonné des sciences, des arts et des métiers :
NÉGATIF, adj. (Algeb.) quantités négatives, en Algebre, sont celles qui sont affectées du signe −, & qui sont regardées par plusieurs mathématiciens, comme plus petites que zéro. Cette dernière idée n’est cependant pas juste, comme on le verra dans un moment. […]
Pour tâcher d’en découvrir la vraie notion, on doit d’abord remarquer que les quantités qu’on appelle négatives, & qu’on regarde faussement comme au-dessous du zéro, sont très souvent représentées par des quantités réelles, comme dans la Géométrie, où les lignes négatives ne différent des positives que par leur situation à l’égard de quelque ligne au point commun. Voyez COURBE. De-là il est assez naturel de conclure que les quantités négatives que l’on rencontre dans le calcul, sont en effet des quantités réelles ; mais des quantités réelles auxquelles il faut attacher une idée autre que celle qu’on avait supposée. Imaginons, par exemple, qu’on cherche la valeur d’un nombre x, qui ajouté à 100 fasse 50, on aura par les règles de l’Algèbre, , & ; ce qui fait voir que la quantité x est égale à 50, & qu’au lieu d’être ajoutée à 100, elle doit en être retranchée ; de sorte qu’on aurait dû énoncer le problème ainsi : trouver une quantité x qui étant retranchée de 100, il reste 50 ; en énonçant le problème ainsi, on aurait , & ; & la forme négative de x ne subsisterait plus. Ainsi les quantités négatives indiquent réellement dans le calcul des quantités positives, mais qu’on a supposées dans une fausse position. Le signe − que l’on trouve avant une quantité sert à redresser & à corriger une erreur que l’on a faite dans l’hypothèse, comme l’exemple ci-dessus le fait voir très-clairement. Voyez EQUATION. […]
Il n’y a donc point réellement & absolument de quantité négative isolée : −3 pris abstraitement ne présente à l’esprit aucune idée ; mais si je dis qu’un homme a donné à un autre −3 écus, cela veut dire en langage intelligible, qu’il lui a ôté 3 écus.
Voilà pourquoi le produit de −a par −b, donne + ab : car a & b étant précédés du signe − par la supposition, c’est une marque que ces quantités a, b, se trouvent mêlées & combinées avec d’autres à qui on les compare, puisque si elles étaient considérées comme seules & isolées, les signes - dont elles sont précédées, ne présenteraient rien de net à l’esprit. Donc ces quantités −a & −b ne se trouvent précédées du signe −, que parce qu’il y a quelque erreur tacite dans l’hypothèse du problème ou de l’opération : si le problème était bien énoncé, ces quantités −a, −b, devraient se trouver chacune avec le signe +, & alors leur produit serait + ab ; car que signifie la multiplication de −a par −b, c’est qu’on retranche b de fois la quantité négative −a : or par l’idée que nous avons donnée ci-dessus des quantités négatives, ajouter ou poser une quantité négative, c’est en retrancher une positive ; donc par la même raison en retrancher une négative, c’est en ajouter une positive ; & l’énonciation simple & naturelle du problème doit être, non de multiplier −a par −b, mais +a par +b ; ce qui donne le produit +ab. Il n’est pas possible dans un ouvrage de la nature de celui-ci, de développer davantage cette idée, mais elle est si simple, que je doute qu’on puisse lui en substituer une plus nette & plus exacte ; & je crois pouvoir assurer que si on l’applique à tous les problèmes que l’on peut résoudre, & qui renferment des quantités négatives, on ne la trouvera jamais en défaut. Quoi qu’il en soit, les règles des opérations algébriques sur les quantités négatives, sont admises par tout le monde, & reçues généralement comme exactes, quelque idée qu’on attache d’ailleurs à ces quantités sur les ordonnées négatives d’une courbe, & leur situation par rapport aux ordonnées positives.
Vous pouvez également consulter ce post sur le forum de questions de Yahoo pour trouver une démonstration simple de cette règle des signes.
Bonne journée
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