Combinaison de variables aléatoires

Réponse du département Sciences et Techniques

Bonjour,

Nous espérons avoir réuni suffisamment de sources pour vous permettre de trouver la solution à votre problème :

- Que faire lorsqu’on considère plusieurs variables en même temps ?
- Probabilités et variables aléatoires
- Cas de plusieurs variables aléatoires
- Variables aléatoires simultanées
- Variables aléatoires. Cours prépa

Plus de sources sur les probabilités :

- Cours de Probabilités Pierre DUSART
- Probabilités et Variables Aléatoires
- Variable aléatoire et loi de probabilité d'une variable aléatoire
- Probabilités - Combinaisons - Le rappel de cours - Maths terminale
- Cours de probabilites et statistiques A. Perrut
- Distributions de plusieurs variables
- Variable aléatoire et loi de probabilité Les Bons Profs - Mathématiques Terminale - Séries S & ES : les probalités
- Exercices corrigés - Couple de variables aléatoires

Enfin, quelques ouvrages sur les variables aléatoires disponibles dans notre bibliothèque :

- Probabilité/ Philippe Barbe, Michel Ledoux. EDP sciences, 2018
- Mini manuel de probabilités et statistique : cours + QCM / Françoise Couty-Fredon,... Jean Debord,... Daniel Fredon,...Dunod, 2018
- Les processus de Markov : en biologie, sociologie, géologie, chimie, physique et applications industrielles/ Pierre Désesquelles. Ellipses, 2016

Bonjour,

Nous avions sollicité un chercheur en mathématiques de l'Université de Bordeaux - que nous tenons à remercier - et vous transmettons sa réponse :

" En général, ce n'est pas possible à partir seulement des fonction de répartitions sans donnée supplémentaire. Donnons un exemple:

Soit un groupe de 3 personnes. Nous demandons à une personne de les peser et à une autre de les mesurer anonymement. Ils nous disent:
1/3 pesent 50kg, 1/3 75kg et 1/3 100kg
1/3 mesurent 150cm, 1/3 175cm et 1/3 200cm

Si nous voulons calculer l'indice de masse corporel (masse/taille^2), nous avons six appariements taille/poids possibles qui donneront des valeurs différentes:

Personne A Personne B Personne C IMC: fréquence moyenne
50kg-150cm, 75kg-175cm, 100kg-200cm, IMC: 1/3: 0.22222 1/3: 0.24490 1/3: 0.25000 moy: 0.23904 50kg-150cm, 75kg-200cm, 100kg-175cm, IMC: 1/3: 0.22222 1/3: 0.18750 1/3: 0.32653 moy: 0.24542 50kg-175cm, 75kg-150cm, 100kg-200cm, IMC: 1/3: 0.16327 1/3: 0.33333 1/3: 0.25000 moy: 0.24887 50kg-175cm, 75kg-200cm, 100kg-150cm, IMC: 1/3: 0.16327 1/3: 0.18750 1/3: 0.44444 moy: 0.26507 50kg-200cm, 75kg-150cm, 100kg-175cm, IMC: 1/3: 0.12500 1/3: 0.33333 1/3: 0.32653 moy: 0.26162 50kg-200cm, 75kg-175cm, 100kg-150cm, IMC: 1/3: 0.12500 1/3: 0.24490 1/3: 0.44444 moy: 0.27145

Il n'y a donc pas de moyen d'obtenir de trouver la fonction de répartition correcte ou même seulement l'espérance seulement à partir des statistiques séparées.

Par contre si nous voulons calculer l'espérance de la variable 'poids + taille', c'est facile car elle ne dépend pas de l'appariement taille/poids (mais sa répartition en dépend).

Pour résoudre cette difficulté les statisticiens ont défini la
covariance: Cov(X,Y) = E(XY)-E(X)E(Y)
(voir wikipedia

en particulier, les variables sont indépendantes, alors Cov(X,Y) = 0 et donc E(XY)=E(X)E(Y).
(voir wikipedia

Malheureusement il est très rare que deux variables soient vraiment indépendantes. C'est un erreur fréquente en statistique de suppose que deux variables sont indépendante alors qu'elles ne le sont pas.

Par exemple si le poids et '1/taille^2' étaient indépendantes, nous trouverions un IMC moyen de 24.490, ce qui n'est pas le cas quelque soit l'appariement réel".

Notre conclusion : bon courage !!