Plus grande surface pour un périmètre donné
Le 17/02/2020 à 10h53
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Question d'origine :
Bonjour,
Les matheux, dont vous qui me répondez j'imagine, voudront bien pardonner la formulation approximative d'une question de géométrie.
En fait, empiriquement, on constate vers quoi tend la réponse; je sais qu'il existe une théorème qui démontre cette réponse, c'est ce théorème que je recherche ainsi que son auteur.
La question : pour une circonférence donnée quelle est la forme du polygone renfermant la plus grande surface?
Je crois me souvenir que le théorème s'appliquait pareillement au plus grand volume pour une surface donnée.
Empiriquement, avec deux exemples, ceux du carré et su cercle :
Carré : pour c = longueur du côté, périmètre = a*4 et surface = a^2
Cercle : pour r = rayon, périmètre = pi*r*2 et surface = pi*r^2
Ainsi, pour p = périmètre et s = surface, nous aurons,
pour le carré : s = p^2/16
pour le cercle : s = p^2/4*pi
Le cercle recouvre ainsi une plus grande surface que le carré pour un même périmètre.
Je ne vais tout de même pas renouveler le calcul pour tous les polygones : bigre, un théorème l'a démontré ! Mais lequel ?!
Merci à vous par avance :=)
Réponse du Guichet
bml_sci
- Département : Sciences et Techniques
Le 19/02/2020 à 14h28
Bonjour,
Effectivement, ce problème peut se résoudre intuitivement mais il occupe pour autant les mathématiciens depuis l’antiquité. On le nomme l’isopérimétrie.
Cette question remonte à la légende de Didon. Cette reine, dit-on, fonda Carthage en délimitant la plus grande aire possible avec des lanières découpées dans une peau de bœuf.
Une vidéo de Mickaël Launay illustre de façon élémentaire et claire la problématique.
Mais en ce qui concerne les théorèmes isopérimétriques, leur démonstration est plus délicate. Zénodore, sous l'antiquité, en proposa une première version mais pas définitive. C'est Jakob Steiner (1796-1863) qui démontra véritablement que le disque est la solution. En 1895, à l'aide de méthodes dérivées du théorème de Minkowski, la question sous sa forme antique fut résolue. Cependant les mathématiciens travaillent encore aujourd'hui sur certains aspects qui restent sans conclusion. Source : Wikipédia.
Bonne journée
Effectivement, ce problème peut se résoudre intuitivement mais il occupe pour autant les mathématiciens depuis l’antiquité. On le nomme l’isopérimétrie.
Cette question remonte à la légende de Didon. Cette reine, dit-on, fonda Carthage en délimitant la plus grande aire possible avec des lanières découpées dans une peau de bœuf.
Une vidéo de Mickaël Launay illustre de façon élémentaire et claire la problématique.
Mais en ce qui concerne les théorèmes isopérimétriques, leur démonstration est plus délicate. Zénodore, sous l'antiquité, en proposa une première version mais pas définitive. C'est Jakob Steiner (1796-1863) qui démontra véritablement que le disque est la solution. En 1895, à l'aide de méthodes dérivées du théorème de Minkowski, la question sous sa forme antique fut résolue. Cependant les mathématiciens travaillent encore aujourd'hui sur certains aspects qui restent sans conclusion. Source : Wikipédia.
Bonne journée
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