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Accueil > En cours > L'ovale est-il une notion mathématique?

L'ovale est-il une notion mathématique?

par mamoun.elmansouri, le 08/04/2021 à 15:57 - 161 visites

L'oval est-il une notion mathématique?
Si oui quelle en serait la définition et qu'est-ce qui le distingue de l'ellipse?

Réponse du Guichet du savoir

par gds_ctp, le 09/04/2021 à 12:03

Bonjour,

Tous les dictionnaires mathématiques de notre fonds ne comportent pas d'entrée "ovale", loin de là ; et lorsqu'on en trouve une, comme dans Dictionnaire des mathématiques [Livre] / sous la direction de Alain Bouvier, Michel George... [et al.], la définition semble peu mathématique, voire singulièrement imprécise :

Citer:
Ovale

Nom donné à certaines courbes planes, qui, en général, ressemblent au contour d'un oeuf, d'où leur nom. Toutefois, dans certains cas, leur forme est très différente.


Cependant cette définition renvoie aux entrées "Cassini" et "Descartes". La première définit l'ovale de Cassini :

Citer:
Lemniscate à deux foyers, c'est-à-dire ensemble des points du plan dont le produit k²>0 de leurs distances à deux points fixes F1 et F2 distants de 2c>à est constant. Son équation bipolaire par rapport à F1 et F2 est rr=k². Les formes des ovales de Cassini diffèrent suivant que k est inférieur ou supérieur à c. Pour k=c c'est une lemniscate de Bernoulli.


Et voici l'ovale de Descartes :

Citer:
Courbe plate dont l'equation bipolaire par rapport à deux points O et O' est de la forme ar+br=ca, b, c, sont trois réelles tels que a≠0 et b≠0. Les coniques à centre et le cercle sont des ovales de Descartes particuliers. Un ovale de Descartes est anallagmatique par rapport à chacun des points O et O' appelés foyers de l'ovale.


Le site bibmath.net fait le point sur différentes manières de définir l'ellipse :

"Définition géométrique

Historiquement, disons pour les mathématiciens grecs, une ellipse est constituée par l'intersection d'un plan et d'un cône de révolution, lorsque le plan traverse le cône de part en part. De nos jours, cette définition n'est quasiment plus enseignée, et on préfère l'introduction suivante. Soit F un point du plan, D une droite ne passant pas par F, et e un réel strictement compris entre 0 et 1. Alors on appelle ellipse de foyer F, de directrice D, d'excentricité e, l'ensemble des points M du plan vérifiant :
Pièce jointe:
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Il est à noter que cette définition n'inclut pas le cercle parmi les ellipses.
[...]
L'ellipse possède un centre de symétrie O, ainsi que deux axes de symétrie. L'axe focal (c'est-à-dire la droite perpendiculaire à la directrice passant par le foyer) s'appelle grand axe. La longueur a (cf dessin) s'appelle demi-axe focal, ou demi-grand axe. L'autre axe de symétrie s'appelle petit axe, ou axe non focal. La longueur b (cf dessin) s'appelle demi-petit axe.
Par symétrie, l'ellipse possède un autre couple foyer/directrice, symétrique de (F,D) par rapport à O. La longueur OF vaut c, avec c2=a2-b2. Si on note h la distance du foyer à la directrice, et p=eh le paramètre de l'ellipse, on a p=b2/a. Diverses autres relations entre ces réels se trouvent sur le dessin.
Pièce jointe:
ellipse4.png
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Ellipse du jardinier

Il existe un autre moyen de définir une ellipse. Prenons deux points F et F' du plan, et a>0. L'ensemble des points M du plan tels que :
MF+MF'=2a
est une ellipse. On appelle cette définition la définition bifocale de l'ellipse. En effet, les points F et F' sont les deux foyers de l'ellipse. On parle aussi d'ellipse du jardinier. Prenons en effet deux piquets solidement arrimés au sol, et une ficelle non élastique dont les extrémités sont fixés aux piquets. Le trajet que l'on parcourt en maintenant la ficelle tendue est une ellipse !
Pièce jointe:
ellipse5.png
ellipse5.png [ 8.06 Kio | Consulté 148 fois ]


Equations

Dans un repère orthonormé où le point O est centre du repère et où la droite (FF') est l'axe (Ox), l'ellipse admet pour équation :
Pièce jointe:
ellipse6.png
ellipse6.png [ 1.18 Kio | Consulté 148 fois ]

Dans le même repère, une équation paramétrique est donnée par
Pièce jointe:
ellipse7.png
ellipse7.png [ 1.95 Kio | Consulté 148 fois ]

Pour une équation paramétrique en coordonnées polaires, on renvoie à l'article concernant les coniques."

Vous trouverez aussi un article consacré à la différence entre ovale et ellipse sur maths-lp-spirales.tice.ac-orleans-tours.fr.

Bonne journée.
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