Probabilité d'être né le même jour

Réponse du département Science & Techniques

Bonjour,

la réponse à votre question n'est pas aisée.
Nous commencerons par deux remarques préliminaires :

Pour revenir à la probabilité d'avoir la même date de naissance dans un groupe de n personnes, intéressons-nous d'abord à un problème plus simple, à savoir la probabilité d'avoir la même date d'anniversaire dans un groupe de n personnes, autrement surnommée le « paradoxe des anniversaires ».

1. Probabilité d'avoir la même date d'anniversaire dans un groupe de n personnes, ou « paradoxe des anniversaires ».
Le paradoxe des anniversaires est une estimation probabiliste du nombre de personnes que l'on doit réunir pour avoir une chance sur deux que deux personnes de ce groupe aient leur anniversaire le même jour. Il se trouve que ce nombre est 23, ce qui choque un peu l'intuition. À partir d'un groupe de 57 personnes, la probabilité est supérieure à 99 %.
Cependant, il ne s'agit pas d'un paradoxe dans le sens de contradiction logique ; c'est un paradoxe, dans le sens où c'est une vérité mathématique qui contredit l'intuition : la plupart des gens estiment que cette probabilité est très inférieure à 50 %. (Cette étude est due à Richard von Mises).

Démonstration :
Le plus simple pour obtenir le résultat annoncé est de calculer la probabilité que chaque personne ait un jour anniversaire différent de celui des autres : le contraire de ce que l’on cherche. On va procéder par dénombrement, c'est-à-dire, que nous allons compter le nombre de cas où n personnes ont des jours d'anniversaires différents et nous diviserons par le nombre de possibilités. Il y a n personnes, pour chacune il y a 365 jours possibles, donc au total si on ne se fixe aucune contrainte, il a 365 puissance n possibilités. Si maintenant on veut des jours différents, nous obtenons un arrangement de n parmi 365, soit .

[explication :
* la première personne a 365 possibilités d'anniversaire,
* la deuxième 364 soient (365-1) ou encore (365-"2"+1) possibilités d'avoir une date d'anniversaire différente de la première personne,
* la troisième personne a 363 soient (365-2) ou encore (365-"3"+1) possibilités d'avoir une date d'anniversaire différente de la première personne,
* etc.]

On a donc

On peut également le voir comme une multiplication de probabilités d'événements indépendants :

Or, l'événement « un jour anniversaire différent par personne » est le complémentaire de « au moins deux identiques ». Par conséquent la probabilité recherchée est .

Cette dernière équation peut se traduire par le graphe suivant :


En résolvant l'application numérique, on trouve 50,73 % pour vingt-trois personnes.
Source : Wikipédia
On retrouvera sur la page Wikipédia un tableau des probabilités de coïncidence de deux anniversaires en fonction du nombre de personnes.

Par la méthode des dénombrements, Il faut 366 (365 jours d'une année normale plus un) personnes pour en obtenir à coup sûr deux nées le même jour de l'année (pas forcément la même année).
http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm/ ... nivers.htm

Pour corser le tout, dans la réalité, le nombre de naissances évolue au fil des jours et des saisons. Si ce raffinement vous intéresse, nous vous laissons lire la page Probabilités inégales pour les dates de naissance du site faq.maths.free.fr .

2. Probabilité d'avoir la même date de naissances dans un groupe de n personnes.
Nous n'avons pas trouvé de ressource nous indiquant précisément la réponse.
Cependant, en prenant l'approximation que toutes les personnes vivent cent ans sans exception, on peut calculer que chaque personne sur notre terre vivrait 365x100 jours + 24 "29 février" lors des années bissextiles, soient 36 524 jours.
Par la méthode des dénombrements, on peut en déduire que dans un groupe de 36 525 (36524+1) personnes, il y aurait au moins deux personnes ayant la même date de naissance, chiffre de 36 525 à rapporter aux 7 millions d'humains vivant actuellement.

Par ailleurs, on pourrait reproduire le premier calcul plus haut pour obtenir une probabilité que deux personnes dans un groupe de n individus partagent la même date de naissance, en remplaçant, 365 par 36 524.

Ce calcul reste à vérifier auprès d'un professeur de mathématique patenté...

Pour l’anecdote, vous pouvez :

Pour finir, une petite note d’humour :


Source : encyclopedie-incomplete.com