la preuve que 1+1=2

Réponse du service Guichet du Savoir


En préambule, qu'est-ce qu'un axiome ? :

(Du grec axioma : j'estime, je crois vrai) Vérité admise sans démonstration et sur laquelle se fonde les théories mathématiques. L'axiome est une " évidence ", contrairement au postulat qui ne l'est pas forcément.
source : Futura Sciences.

Un plus un égalent deux n'est pas à proprement parler un axiome mais découle directement des axiomes de Giuseppe Peano (source Wikipédia), mathématicien italien décédé en 1932, qui définissent les entiers naturels :

La définition axiomatique des entiers naturels de Giuseppe Peano est usuellement décrite informellement par les cinq axiomes suivants :

0 est un entier naturel.
Tout entier naturel n a un successeur, noté ou Sn.
Aucun entier naturel n'a 0 pour successeur.
Deux entiers naturels ayant même successeur sont égaux.
Si un ensemble d'entiers naturels contient 0 et contient le successeur de chacun de ses éléments alors cet ensemble est égal à .

Il en découle certaines propriétés arithmétiques :

L'addition et la multiplication sont définies sur par les axiomes de Peano.

L'addition sur est définie récursivement en posant a + 0 = a et a + s( b ) = s(a + b ) pour tout a et b. est ainsi un monoïde commutatif d'élément neutre 0. Ce monoïde peut être plongé dans un groupe. Le plus petit groupe le contenant est celui des nombres entiers.

Puisque s(0) = 1, s( b ) = s(b + 0) = b + s(0) = b + 1. Le successeur de b est simplement b + 1.

(...)


D'où il découle (pour faire simple et de façon quelque peu tautologique) que 1 + 1 = 2, car lorsque on ajoute 1 à un entier naturel, le résultat est le nombre qui succède immédiatement à cet entier.

Vous trouverez des démonstrations détaillées d'arithmétiques basées sur la TNT, Théorie des nombres typographique, dans l'ouvrage de référence : Gödel, Escher, Bach : les brins d'une guirlande éternelle de Douglas Hofstadter.