En mathématique et en physique, quelle différence entre une équation et une fonction ?

Bonjour,

Pour notre réponse, nous partirons des définitions données par le Dictionnaire des mathématiques, 10^ème édition, PUF, 2019 :

Fonction.

On appelle fonction d’un ensemble E dans un ensemble F une relation f  de E vers F telle que chaque élément x de E ait au plus une image dans F. L’ensemble D des éléments de E qui ont une image f(x) dans F est appelé domaine de définition de la fonction. Pour toute partie A de D, la relation A dans F qui à x, élément de A fait correspondre son image notée f(x) est une application.

 

Équation.

Employé seul, ce terme est mathématiquement indéfinissable. Son sens dépend essentiellement du contexte ou du qualificatif qui l’accompagne (équation différentielle, équation algébrique, équation d’une conique, etc.). Lorsque l’équation est une relation de la forme f(x) = g(x) ou f et g sont des applications d’un ensemble E dans un ensemble F, la résoudre c’est déterminer l’ensemble des éléments a de E (appelées racines ou solutions de l’équation) pour lesquelles l’égalité f(a) = g(a) est vérifiée.

À la lecture de ces définitions, nous pouvons dire qu’il n’est pas possible de comparer deux notions de mathématique ou de physique dont l’une est par essence indéfinissable.

Cependant, nous pouvons essayer de préciser un peu la notion d’équation en nous appuyant sur une partie de la (très longue) définition donnée par Stella Baruk dans son Dictionnaire de mathématiques élémentaires (Seuil, 2019) !

Équation.

Au sens de « égalité », sens mathématique au XVIIe siècle.

Quand on demande à Claude ce qu’est une équation, on obtient des réponses pouvant paraître étranges : il y des opérations, il y a des chiffres et des lettres, c’est des fonctions de (x), c’est pour construire des droites, c’est pour trouver x etc…

Il faut insister sur ces points essentiels :

a. Une équation est construite sur une égalité, ce qui rend compte de son étymologie, donc autour du signe « égal » (=).

b. Trouver « x », c’est « trouver x pour résoudre l’équation, et « résoudre l’équation »  c’est résoudre un problème.

c. Une équation est en effet un outil, qui peut être utilisé dans maintes circonstances, en particulier pour résoudre des problèmes […]

C’est parce que les équations ont été à l’origine des outils de résolution de problèmes – ces problèmes que l’on résout par l’algèbre -, et le sont toujours, que l’on parle « d’inconnues » ; ces inconnues ne sont autres que les réponses cherchées, que l’on ne connaît pas encore et que l’on désigne par des lettres.

Nous tenons à souligner que, n’étant pas des mathématiciens mais de simples bibliothécaires territoriaux, nous avons cherché (comme vous sans doute) des réponses sur Internet. Les réponses données parfois sur des forums nous ont en partie aidés à défricher tout le domaine que sous-tend la réponse recherchée à votre question, mais nous n’avons pas été totalement satisfaits pour les raisons suivantes :

- Les répondeurs ne donnent pas souvent leurs qualités (je suis professeur de…, chercheur en) pouvant assurer une certaine légitimité pour la réponse ;

- Les termes « équation » et « fonction » ne sont en général pas définis en préambule avant la réponse, et nous pouvons craindre un abus de langage entraînant une réponse biaisée ;

- Comme souvent dans les forums, les répondeurs ne sont totalement d’accord entre eux. Ceci entraîne certes des rebonds de discussions intéressantes entre spécialistes (supposés), mais nous n’avons pas le bagage mathématique pour pouvoir trancher entre plusieurs affirmations.

Cordialement.