Comment se peut-il qu'un dé à jouer soit équilibré ?

Bonjour,

Votre intuition est bonne. Il semblerait, selon les sources que nous avons trouvées, qu'un dé ordinaire à points creusés n'est pas parfaitement équilibré. Un dé n'a pas exactement la même masse sur toutes ses faces car les cavités retirent effectivement de la matière et peuvent créer un biais mesurable. En revanche, les dés de précision destinés aux casinos sont conçus pour compenser cet effet. Des précisions sont données dans les études suivantes :

Facets of Fairness: Equal Share, Equal Chance and Uniform Mechanisms / Holger H. Hoos, University of British Columbia, Department of Computer Science and Peter Wall Institute for 1 Advanced Studies :

The equal chance principle as a fundamental notion of fairness arises perhaps in its purest form in games of chance played for the purpose of monetary gains, such as roulette, slot machines or lotteries. From a technical perspective, rational participants in this type of gambling trade a modest amount of money they own against the chance of a larger winning. Games of this nature are tightly regulated to ensure fairness in the sense of equal chances of winning for all participants - at least under the assumption that they play in what they are assured should be equivalent ways, such as betting on any single number in roulette, pulling an arm on any of a number of identical slot machines or selecting any combination of numbers in Lotto 6/49.

 

Unfortunately, ensuring precisely equal chances in such games is very difficult. This problem is illustrated particularly well for the example of dice – perhaps the most widely used objects expressly made for producing random outcomes with equal chance. In a largescale study involving 4.38 million throws, Iversen et al. demonstrated that the inexpensive dice widely used in board games show a small, but consistent and statistically bias towards even numbers, which were obtained overall in 50.72% rather than the 50% of cases expected of a fair die. This bias is explained primarily by the fact that these dice have shallow holes 12 to indicate the numbers, filled with a drop of paint each, which ever-so-slightly reduces the weight of the faces with even numbers (2,4,6) compared to those with odd numbers (1,3,5). The deviation of 0.72% from the results produced by an ideal, fair die seems very small. Unfortunately, by repeatedly using such an unfair die, this bias can get amplified rather rapidly. 

 

Le principe d’égalité des chances, en tant que notion fondamentale d’équité, se manifeste peut-être sous sa forme la plus pure dans les jeux de hasard pratiqués dans le but de réaliser des gains financiers, tels que la roulette, les machines à sous ou les loteries. D’un point de vue technique, les  participants rationnels à ce type de jeux d’argent échangent une somme modeste d’argent qu’ils possèdent contre la chance de remporter un gain plus important. Les jeux de cette nature sont strictement réglementés afin de garantir l’équité, c’est-à-dire l’égalité des chances de gagner pour tous les participants – du moins en partant du principe qu’ils jouent selon des modalités qui leur sont garanties comme équivalentes, par exemple en misant sur un numéro unique à la roulette, en actionnant le levier de l’une quelconque d’une série de machines à sous identiques ou en sélectionnant n’importe quelle combinaison de numéros au Lotto 6/49.

Malheureusement, il est très difficile de garantir une égalité parfaite des chances dans ce type de jeux. Ce problème est particulièrement bien illustré par l’exemple des dés – sans doute les objets les plus largement utilisés et expressément conçus pour produire des résultats aléatoires avec une probabilité égale. Dans une étude à grande échelle portant sur 4,38 millions de lancers, Iversen et al. ont démontré que les dés bon marché largement utilisés dans les jeux de société présentent un biais faible, mais constant et statistiquement significatif, en faveur des nombres pairs, qui ont été obtenus dans 50,72 % des cas au total, au lieu des 50 % attendus pour un dé équitable. Ce biais s’explique principalement par le fait que ces dés comportent des alvéoles peu profondes 12 destinées à indiquer les chiffres, remplies chacune d’une goutte de peinture, ce qui réduit très légèrement le poids des faces portant des nombres pairs (2, 4, 6) par rapport à celles portant des nombres impairs (1, 3, 5). L’écart de 0,72 % par rapport aux résultats produits par un dé idéal et équitable semble très faible. Malheureusement, en utilisant de manière répétée un tel dé biaisé, cet écart peut s’amplifier assez rapidement.

 

Traduit avec DeepL.com (version gratuite)

Iversen GR, Longcor WH, Mosteller F, Gilbert JP, Youtz C. Bias and Runs in Dice Throwing and Recording: A Few Million Throws. Psychometrika. 1971;36(1):1-19. Cette étude est particulièrement convaincante parce qu'elle ne se contente pas d'une explication théorique : elle porte sur 4 380 000 lancers de 219 dés. Vous pouvez en lire l'introduction ici.

Les dés de casino corrigent ce problème.

En effet les points des dés de précision sont remplis afin de compenser la matière retirée. L'étude CAN THE DICE BE FAIR BY DYNAMICS? / J. STRZALKO, J. GRABSKI, A. STEFANSKI and T. KAPITANIAK. Division of Dynamics, Technical University of Lodz, Stefanowskiego 1/15, 90-924 Lodz, Poland, 2009, indique :

A die is modeled as a rigid body of homogeneous material, i.e. the center of mass and the geometrical center are located at the same point C. We  consider the dice with isohedral shape and sharp edges and corners. (Precision casino dice have their pips drilled, and they are filled flush with a paint of the same density as the acetate used for the dice, so they remain in balance. They also have sharp edges and corners. [...] The typical examples of such dice are:  tetrahedron, cube, octahedron, dodecahedron, icosahedron. We neglected the influence of air resistance, as in [ZengYuan & Bin, 1985; Strzalko et al., 2008] it have been shown that the influence of the air resistance on the motion of the tossed coin is very small.

 

 

Un dé est modélisé comme un corps rigide constitué d’un matériau homogène, c’est-à-dire que son centre de masse et son centre géométrique  coïncident en un même point C. Nous considérons ici des dés de forme isoédrique, aux arêtes et aux angles vifs. (Les dés de casino de précision ont leurs points percés, puis remplis à ras avec une peinture de même densité que l’acétate utilisé pour la fabrication des dés, ce qui leur permet de rester en équilibre. Ils présentent également des arêtes et des angles vifs. [...] Les exemples typiques de tels dés sont : le tétraèdre, le cube, l’octaèdre, le dodécaèdre, l’icosaèdre. Nous avons négligé l’influence de la résistance de l’air, comme dans [ZengYuan & Bin, 1985 ; Strzalko et al., 2008], où il a été démontré que l’influence de la résistance de l’air sur le mouvement de la pièce lancée est très faible.

 

 

Traduit avec DeepL.com (version gratuite)