Sciences exactes

Réponse du service Guichet du Savoir


L'espace de Hilbert fait l'objet d'un cours de Mathématiques de l'enseignement supérieur. Il est donc par conséquent très difficile de vulgariser son étude. En voici toutefois une présentation "simplifiée" sur le site personnel de Serge Mehl :

L'appellation espace de Hilbert est due à von Neumann. On nomme ainsi un espace préhilbertien séparé et complet. D'accord, mais c'est quoi un espace préhilbertien ? On appelle ainsi un espace vectoriel sur R (resp. C) muni d'une forme bilinéaire symétrique et positive (resp. d'une forme sesquilinéaire auto-adjointe et positive). Lorsque ces formes sont définies positives, elles définissent un produit scalaire et on parle d'espace préhilbertien séparé.

Un espace de Hilbert apparaît ainsi comme un espace vectoriel sur R ou C, muni d'un produit scalaire dont l'espace normé associé est complet : c'est un espace de Banach.

Le cas d'un espace vectoriel de dimension finie coïncide avec celui d'espace euclidien.
L'espace de Hilbert L2 [-1,1] des fonctions de carré intégrable au sens de Lebesgue sur [-1,1] admet la suite des polynômes de Legendre comme base orthonormale.

Historiquement les éléments de ces espaces furent des fonctions (espaces fonctionnels) et sont nés de la physique mathématique, tout particulièrement des phénomènes oscillatoires et du calcul des variations où les solutions recherchées (équations intégrales) apparaissent comme somme d'une série de fonctions (souvent trigonométriques) que l'on approche par des polynômes orthogonaux pour un produit scalaire convenable. Outre pour une théorie rigoureuse des séries de Fourier, les espaces de Hilbert sont aussi un outil essentiel en mécanique quantique et en calcul tensoriel.


Vous en trouverez également une présentation sur le site Pluton1.club.fr qui indique ceci :

Les Espaces de Hilbert
Il est impossible d’en dire quelques mots qui soient justes, hors du formalisme mathématique correspondant.
Il y a, en mathématique, au cœur de chaque définition et de chaque propriété une référence implicite à une chaîne complète (un réseau) de définitions et de propriétés. Seule une approche faite pas à pas peut apporter la sûreté de pensée nécessaire à une exacte compréhension.

Pour en savoir plus, vous pouvez consulter ces manuels de l'enseignement supérieur.