Calculer l'hypothénuse

Réponse du département Sciences et Techniques

Bonjour,

Le théorème de Pythagore énonce effectivement que dans un triangle rectangle le carré de la longueur de l'hypoténuse (notée c) est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés (notées a et b), c'est-à-dire c² = a² + b².

Une visualisation géométrique possible de ce théorème permet de mieux comprendre l'importance des carrés dans la formule :

(source : Wikipédia)

C'est bien l'aire du grand carré bleu (qui vaut c²) qui est égale à la somme des aires des carrés jaunes (qui valent respectivement a² et b²). En revanche on voit bien que la longueur c est bien plus petite que la somme des longueurs a et b !

Dans un triangle (quelconque, pas même nécessairement rectangle), si on note c la longueur du plus long côté et a et b celles des deux autres côtés, on a toujours c <= a + b (essayez de vous en convaincre sur des dessins !). Le cas c = a + b correspond d'ailleurs à un triangle plat. C'est l'inégalité triangulaire

Prenons par exemple un triangle rectangle de côtés de longueurs 3, 4 et 5. On a bien 3² + 4² = 9 + 16 = 25 = 5². Mais on n'a bien sûr pas 3 + 4 = 7 égal à 5.

Il est possible que vous pensiez pouvoir passer de c² = a² + b² à c = a + b en "simplifiant les carrés", ce qui est incorrect. Attention, la formule est bien c² = a² + b² et non c² = (a + b)². Et (a + b)² = a² + 2ab + b² n'est pas (en général) égal à a² + b². Si on reprend l'exemple ci-dessus, 3² + 4² = 9 + 16 = 25, mais (3 + 4)² = 7² = 49 (il manque 2 * 3 * 4). Mathématiquement, c² = a² + b² et c = a + b ne traduisent pas la même chose.

Remarquons enfin que la réciproque du théorème est vraie. Si on considère un triangle de côtés de longueurs a, b et c et que la relation c² = a² + b² alors ce triangle est rectangle et l'hypoténuse est le côté de longueur c.

Pour aller plus loin...
Des manuels scolaires du collège :
• L'inégalité triangulaire est au programme de la classe de 5e : Pour comprendre les maths 5e / Philippe Rousseau, Nicolas Clamart / Hachette Education, 2019
• Le théorème de Pythagore est abordé en 4e :
Pour comprendre les maths 4e / Philippe Rousseau, Nicolas Clamart / Hachette Education, 2019
• Sur les triangles : Le triangle : trois points, c'est tout ! / sous la dir. de Gilles Cohen / Pole, 2005
• Des ouvrages pour réviser les maths et la géométrie autrement...
Les maths au carré : 100 concepts de base / Marianne Freiberger et Rachel Thomas / Eyrolles, 2017
Tout ce que vous avez appris et oublié en maths ! plus de 1000 exercices et un peu de théorie... pour vous remettre à niveau / Jan van de Craats et Rob Bosch / Pearson, 2012
Petit précis de géométrie à déguster / Mike Askew et Sheila Ebbutt / Belin, 2011

Bonne journée.